QC —通过单一算子,干涉和纠缠控制量子计算

Sagar Dani摄

大。 我们刚刚完成了有关Qubit(量子位—量子计算的核心组成部分)的第2部分。 那么我们如何控制它呢? 与经典计算不同,我们不在量子位上应用逻辑运算或通用算术。 量子计算中没有“ while语句”或“分支语句”。 取而代之的是,我们开发unit运算符,以量子力学中的干涉原理操纵量子位。 听起来不错,但实际上非常简单。 我们将研究单一运算符的概念。 作为附带说明,我们将研究其与Schrodinger方程的关系,因此我们并未设计与自然相反的概念。 最后,我们研究纠缠,一种神秘的量子现象。

量子门

在经典计算机中,我们在位上应用基本逻辑运算符(NOT,NAND,XOR,AND,OR)以建立复杂的运算。 例如,以下是带有进位的一位加法器。

量子计算机具有完全不同的基本运算符,称为量子门。 我们不会重新编译现有的C ++程序以在量子计算机上运行。 两者都有不同的运算符,量子计算需要不同的算法才能利用它们。 在量子计算中,关键在于操纵量子位,纠缠并测量量子位。 让我们回到Bloch领域。 从概念上讲,量子计算操作操纵叠加的Φ和θ沿单位球体的表面移动点。

从数学上讲,叠加是通过矩阵形式的线性算子U来进行的。

对于单个量子位,运算符只是2×2矩阵。

薛定inger方程(可选)

大自然似乎天真地简单! 数学只是我们在高中学习的线性代数。 在两次测量之间,状态由线性算子使用矩阵乘法处理。 当测量时,叠合塌陷。 具有讽刺意味的是,线性对于科幻迷来说是一大失望。 这是量子动力学的一般性质。 否则,时间旅行或光速旅行都是可能的。 如果我们从这个线性算子(确切地说是一个operator算子)开始,我们可以得出薛定inger方程,它是描述量子力学中状态如何演化的量子力学的基石。 从相反的角度看,薛定inger方程式总结了自然的线性。

资源

在这里,我们可以将薛定inger方程改写为

其中H是一个厄米(Hermitian)。 它说明了状态如何在自然界线性演化。

该方程是线性的,即,如果ψ1和ψ2都是薛定inger方程的有效解,

它的线性组合是方程的一般解。

如果|0⟩和|1⟩是系统的可能状态,则其线性组合将是其一般状态—这是量子计算中叠加的原理。

我们的物理世界不允许所有可能的线性算子。 操作员必须团结一致并满足以下要求。

其中U†是U的转置复共轭。例如:

在数学上,unit运算符保留准则。 这是一个很棒的属性,可以在状态转换后使总概率等于1,并在单位球面上保持叠加。

如果我们看下面的薛定inger方程的解,自然遵循相同的unit律。 H是厄米(Hermitian)(厄米的转置复共轭等于自己)。 将运算符与其转置的复共轭相乘等于单位矩阵。

以下是H的一个例子,其中在z方向上有一个均匀的磁场E 1。

将单一运算应用于|ψthe会导致z轴旋转。

但是,在现实世界中统一的真正含义是什么? 这意味着操作是可逆的。 对于任何可能的操作,还有另一种操作可以撤消该操作。 就像看电影一样,您可以向前播放它,自然也可以让对应的U†向后播放视频。 确实,您可能没有注意到您是在向前还是向后播放视频。 几乎所有物理定律都是时间可逆的。 少数例外包括量子动力学的测量和热力学第二定律。 在设计量子算法时,这非常重要。 经典计算机中的异或运算(XOR)是不可逆的。 信息丢失。 给定输出1,我们无法区分原始输入是(0,1)还是(1,0)。

在量子计算中,我们称算子为量子门。 当我们设计一个量子门时,我们要确保它是单一的,即会有另一个量子门可以将状态逆转回原来的状态。 这很重要,因为

如果运算符是单一的,则可以在量子计算机中实现。

一旦the被证明,工程师至少在理论上应该没有问题来实施它。 例如,由超导电路组成的IBM Q计算机使用不同频率和持续时间的微波脉冲来控制Bloch球表面的量子比特。

为了达到统一,有时我们会输出部分输入来满足这一要求,例如下面的输入,甚至看起来很多余。

让我们看一下最常见的量子门之一,哈达玛门,其线性算子被定义为以下矩阵。

或Dirac表示法

当我们将运算符应用于向上旋转或向下旋转状态时,我们将叠加更改为:

如果进行测量,则两者都有平等的机会向上或向下旋转。 如果我们再次应用门,它将返回到原始状态。

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也就是说,哈达玛门的转置共轭就是哈达玛门本身。

当我们应用UU†时,它将恢复为原始输入。

因此,哈达玛门是单一的。

量子计算基于干涉和纠缠。 即使我们可以在数学上理解量子计算而又不了解这些现象,我们还是要对其进行快速演示。

干扰

波浪彼此相长或相消。 例如,可以根据输入波的相对相位来放大或展平输出。

干扰在量子计算中起什么作用? 让我们进行一些实验。

马赫曾德尔干涉仪(来源)

在第一个实验中,我们准备所有入站光子以使其偏振态|0⟩。 偏振光子流在45°处被分束器B位置均匀分束,即,它将光束分成两个正交偏振光并以单独的路径出射。 然后,我们使用镜子将光子反射到两个单独的检测器并测量强度。 从经典力学的角度来看,光子分成两个单独的路径,并均匀地撞击检测器。

在上面的第二个实验中,我们在检测器之前放置了另一个分束器。 凭直觉,分束器彼此独立地工作,并将光束分成两半。 两个检测器都应检测一半的光束。 使用红色的1路径光子到达检测器D₀的概率为:

光子到达D₀的总机会是1路径或0路径的1/2。 因此,两个检测器都检测到一半的光子。

但这与实验结果不符! 只有D₀才能检测到光。 让我们为具有Hadamard门的分束器的状态转换建模。 因此对于第一个实验,分束器之后的光子状态为

测量时,其中一半将为|0⟩,而一半将为|1⟩。 光束被平均分成两个不同的路径。 因此,我们的Hadamard门将与经典计算相匹配。 但是,让我们看看第二个实验中发生了什么。 如前所示,如果我们准备所有输入光子为|0⟩并将它们传递到两个Hadamard门,则所有光子将再次为|0⟩。 因此,在测量时,只有D₀会检测到光束。 只要我们不对两个探测器进行任何测量,就不会达到D₁。 实验证实量子计算是正确的,而不是经典计算。 让我们看看干扰如何在第二个Hadamard门中发挥作用。

如下所示,相同计算基础的组成部分彼此相长或相消,以产生正确的实验结果。

我们可以准备输入光子束为|1⟩并再次重做计算。 第一分离器之后的状态与原始分离器的相位相差π。 因此,如果我们现在进行测量,则两个实验将进行相同的测量。

但是,再次应用Hadamard门时,一个会产生|0⟩,一个会产生|1⟩。 干扰会产生复杂的可能性。

让我再做一个有趣的实验,它对网络安全有非常重要的意义。

如果我们在第一个分离器之后放置另一个检测器Dx,则实验表明两个检测器现在将检测到一半的光子。 这与量子力学中的计算相符吗? 在下面的方程式中,当我们在第一个分离器之后添加一个测量值时,我们强制叠加发生崩溃。 最终结果将与没有附加检测器的结果不同,并且与实验结果匹配。

大自然告诉我们,如果您知道光子所走的路径,则两个检测器都会检测到一半的光子。 实际上,仅在其中一条路径中仅使用一个检测器就可以实现这一目标。 如果在两个检测器之前均未进行任何测量,则如果光子准备好为|0⟩,则所有光子最终都到达检测器D₀中。 再次,直觉使我们得出错误的结论,而量子方程式仍然可信。

这一现象具有关键意义。 在我们的示例中,附加测量会破坏原始干扰。 测量后,系统的状态会更改。 这是量子密码学背后的主要动机之一。 您可以设计一种算法,使得如果黑客拦截(测量)您和发送者之间的消息,则无论测量多么温和,您都可以检测到这种入侵。 因为如果截获了测量模式,它将有所不同。 量子力学中的非克隆定理声称,不能精确地复制一个量子态。 因此,黑客也无法复制并重新发送原始消息。

超越量子模拟

如果您是物理学家,则可以利用量子门中的干涉行为来模拟原子世界中的相同干涉。 经典方法在概率论中使用大于或等于零的值。 它假设独立性在实验中是不正确的。

量子机制声称该模型是错误的,并引入了具有复数和负数的模型。 它没有使用概率论,而是使用干扰对问题进行建模。

那么,这对非物理学家有什么好处呢? 可以将干扰视为与单一运算符相同的机制。 它可以在量子计算机中轻松实现。 数学上,,运算符是一个矩阵。 随着量子位数的增加,我们可以使用的系数呈指数增长。 这个单一的运算符(在物理学家的眼中)使我们能够在一次操作中操纵所有这些系数,这为大规模数据操纵打开了大门。

纠缠

总的来说,科学家认为,没有纠缠,量子算法就无法表现出超越经典算法的优势。 不幸的是,我们不太了解其原因,因此,我们也不知道如何定制算法以充分利用其潜力。 这就是为什么在引入量子计算时经常提到纠缠,但是之后却很少提及的原因。 因此,我们将在本节中解释什么是纠缠。 希望您是打破秘密的科学家。

考虑2个量子比特的叠加。

| 10>表示两个粒子分别处于向下旋转和向上旋转。

考虑以下复合状态:

我们可以将复合状态分成两个单独的状态吗,

我们不能因为它需要:

量子力学证明了一种非直觉的概念。 在经典力学中,我们相信可以通过很好地了解每个子组件来了解整个系统。 但是在量子力学中

如前所示,我们可以对复合状态建模并完美地进行测量预测。

但是,我们不能将其描述或理解为两个独立的组件。

我想象这样的情况是一对夫妻结婚了50年。 他们将始终同意该做什么,但是当您将他们视为单独的人时,您将找不到答案。 这是一个过于简化的方案。 有许多可能的纠缠状态

当量子位的数量增加时,将很难描述它们。 在执行量子运算时,我们知道组件之间是如何关联的(纠缠)。 但是在进行任何测量之前,确切的值仍然是开放的。 纠缠产生的关联要丰富得多,而对于经典算法而言,要有效地进行模拟,可能更难。

下一个

现在,我们知道了如何使用单一运算来操纵量子位。 但是对于那些对量子算法感兴趣的人,我们应该首先知道什么是限制。 否则,您可能会忽略量子计算中的难题。 但是对于那些想首先了解更多有关量子门的人,您可以在第一篇文章之前先阅读第二篇文章。